Consultorio de Matemáticas (Bonus: Química y Física)

[Minerva]

Muchas gracias will'o. Fíjate, en este enlace lo explican muy bien y me ha salido

Por si alguien más lo necesita en algún momento, a mí me ha sido muy útil.

http://miprofesordematematicas.blogspot ... gauss.html

Ahora tengo que practicar con más ejercicios para coger soltura ^_^

EDIT: me he topado con dos ejercicios difíciles a mi ver, y necesitaría vuestra inestimable ayuda otra vez.

Para esta matriz me piden realizar la inversa por el método de Gauss-Jordan. A mí no me sale, ¿cómo lo haríais vosotros?:

[tabla][center]3[/center][center]5[/center][center]2[/center]
[center]4[/center][center]8[/center][center]1[/center]
[center]3[/center][center]1[/center][center]0[/center][/tabla]

En cuanto al siguiente, el enunciado es el siguiente: "Calcular. Sugerencia: descompóngase en suma de dos determinantes, tales que el primero tenga su primera columna de unos."
??

[tabla][center]1+x1[/center][center]1[/center][center]1[/center][center]...[/center][center]1[/center]
[center]1[/center][center]1+x2[/center][center]1[/center][center]...[/center][center]1[/center]
[center]1[/center][center]1[/center][center]1+x3[/center][center]...[/center][center]1[/center]
[center]...[/center][center]...[/center][center]...[/center][center]...[/center][center]...[/center]
[center]1[/center][center]1[/center][center]1[/center][center]...[/center][center]1+xn[/center][/tabla]

No tengo ni idea de cómo resolverlo...

[will-o-the-wisp]

F3 -> F3-F1



F2 -> F2-4/3*F1



F2 -> 3*F2



F3 -> F3+F2



F2 -> F2-5/7*F3



F1 -> F1-5/4*F2+2/7*F3



F1 -> 1/3*F1
F2 -> 1/4*F2
F3 -> -1/7*F3



Por tanto, la inversa es:



El determinante de la matriz original era -28, sacándolo como factor común queda:



Luego te miro el otro ejercicio, que ahora mismo me tengo que ir ^^

[Minerva]

Muchas gracias will'o!, yo lo hacía de manera distinta (me complicaba más la vida vamos).

Aun así, la respuesta tiene que ser la misma aunque se sigan caminos distintos. Cuando pueda volveré a intentarlo (a veces lo vuelvo a probar al día siguiente y me sale).

[will-o-the-wisp]

Vamos con el segundo. Queremos calcular el siguiente determinante:



Cuando todos los elementos de una fila (o una columna) están formados por dos sumandos, el determinante puede descomponerse en dos determinantes, con todos los términos idénticos, excepto los de la fila con los sumandos, donde sale uno u otro:



No sabía muy bien cómo continuar, así que he optado por probar con matrices 2x2 y 3x3, a ver qué pasaba:

Caso 2x2:





Caso 3x3:





Por inducción, el determinante de la matriz original será la suma de todas las combinaciones posibles del producto de n-1 elementos más el producto de los n elementos. Sin embargo, no veo cómo llegar a esa conclusión mediante la descomposición que se ha hecho al principio. Estoy pasando algo por alto y no sé muy bien qué, le iré dando vueltas.

[Minerva]

Muchas gracias Will'o! ^^

En cuanto a este ejercicio:

[tabla][center]3[/center][center]5[/center][center]2[/center]
[center]4[/center][center]8[/center][center]1[/center]
[center]3[/center][center]1[/center][center]0[/center][/tabla]

Ya me ha salido, yo me complicaba mucho más la vida. Empezaba multiplicando la primera fila por 1/3, y luego al haber fracciones por todo se complicaba el tema.

[tabla][center]1+x1[/center][center]1[/center][center]1[/center][center]...[/center][center]1[/center]
[center]1[/center][center]1+x2[/center][center]1[/center][center]...[/center][center]1[/center]
[center]1[/center][center]1[/center][center]1+x3[/center][center]...[/center][center]1[/center]
[center]...[/center][center]...[/center][center]...[/center][center]...[/center][center]...[/center]
[center]1[/center][center]1[/center][center]1[/center][center]...[/center][center]1+xn[/center][/tabla]

En cuando a este, la solución que dan en el libro es:

"La solución consistiría en todas las sumas de todos los productos que se pueden formar con n-1 términos que no son 1, más el sumando con el producto de los n términos x1, x2, x3, x4... xn."

No entiendo demasiado esta explicación la verdad (la tuya es muy parecida, por lo que debes haber acertado), pero no creo que me pongan un ejercicio así en el examen (los mato vamos). Gracias a tu explicación he podido saber a qué se referían cuando hablaban de la suma de determinantes.

Hay otro parecido, que es este. También para hallar el determinante:

[tabla][center]1+x1[/center][center]1[/center][center]1[/center][center]1[/center]
[center]1[/center][center]1+y[/center][center]1[/center][center]1[/center]
[center]1[/center][center]1[/center][center]1+z[/center][center]1[/center]
[center]1[/center][center]1[/center][center]1[/center][center]1+t[/center][/tabla]

Dicen que la solución es txuz + xyz + txz + txy + tyz.
A mí me sale distinto :/. Tiré la hoja con el cálculo (en un intento de no dejar pruebas en el trabajo), pero sé que me salía distinto.

[will-o-the-wisp]

La regla vendría a ser algo así:

Dimensión 2:
xy+x+y
Mutliplicación de 2 variables: xy
Suma de 2 combinaciones de 1 elemento: x+y

Dimensión 3:
xyz+xy+xz+yz
Multiplicación de 3 variables: xyz
Suma de 3 combinaciones de 2 elementos: xy+xz+yz

Dimensión 4:
xyzt+xyz+xyt+xzt+yzt
Multiplicación de 4 variables: xyzt
Suma de 4 combinaciones de 3 elementos: xyz+xyt+xzt+yzt

Dimensión 5:
xyztu+xyzt+xyzu+xytu+xztu+yztu
Multiplicación de 5 variables: xyztu
Suma de 5 combinaciones de 4 elementos: xyzt+xyzu+xytu+xztu+yztu

...


Dimensión n:
Multiplicación de n variables + Suma de n combinaciones de n-1 elementos

El determinante de la matriz que has puesto se debería poder hacer de una manera sencilla mediante la separación que recomiendan en el ejercicio, pero la verdad es que no se me ocurre cómo aplicarlo para facilitar el proceso. Haciéndolo así directamente, me sale una cuenta larguísima donde se cancela casi todo y queda lo esperado, xyzt+xyz+xyt+xzt+yzt.

[Minerva]

Muchas gracias Will'o, creo que ya lo entiendo mucho mejor

Ahora me queda seguir practicando hasta el examen. Voy a ponerme con los siguientes temas, y si tengo alguna duda para aquí que me vengo

[Nube de oscuridad]

Voy a preguntar si alguien es capaz de resolverme esto:
Es un problema, y no me extrañaría que nadie lo supiese hacer. Yo es que no me entero de nada, y esto se supone que es de matemáticas de primero de carrera. Lo único que se es que en esta cosa hay que usar limites, derivadas e integrales

[spoiler]una plaga se extiende por una zona de cultivo;El área(en miles de hectáreas) de la superficie afectada por la plaga es una función del tipo
A(t)=(1/pi)*arctan((t-2)/2) + B
donde t se mide en semanas y B está dentro del campo de los números reales. Se supone que inicialmente toda la superficie está libre de la plaga


a)¿Cual es el valor de la constante B?
b)¿Cuantas hectáreas se verán afectadas por la plaga?
c)¿Cual es la tasa de propagación de la plaga?¿Con que tasa se propaga la plaga en el instante oficial?¿En algún momento se reduce el area afectada por la plaga?
d)¿En qué instante es máxima la tasa de propagación?¿Cuanto mide el área de la zona afectada por la plaga en ese instante?¿Es las del 50% total que se verá afectado?[/spoiler]

Y en realidad B es "A sub cero"(lo tipico que tiene un numerito abajo pequeño. Como el exponente, pero abajo), pero no sabía como ponerlo

[Pappapishu]

Te voy a decir como hallar el apartado a y desde ahí a ver si puedes seguir tu mismo.

Para hallar la B lo que tienes que saber es que inicialmente el área afectada es ninguna, es decir con t=0 (0 semanas) A(t) tiene que valer 0. Por tanto:

A(t)=(1/pi)*arctan((t-2)/2) + B

A(t) es 0 cuando t es 0, así que susituyes:

0=(1/pi)*arctan((0-2)/2) + B

Despejas B y -2/2 lo dejas como -1 (un poco más simple )

B = -(1/pi)*arctan(-1)

[Nube de oscuridad]

Bien, ese era el apartado que sabía hacer (quitando que no se cuanto es el arctan de -1). El mayor problema que tengo después es que casi no se de que me habla. Cuando me pongo con el apartado b, suponiendo que se refiere a "con el paso del tiempo", osea se, el limite cuando tiene a infinito, me sale algo sin sentido.
En el apartado c se que tengo que integrar, sustituir t por 0. La tercera parte no se hacerla
Y en el apartado d, directamente, no se lo que tengo que hacer. Puedo suponer que tengo que hallar la t para que A(t)sea máxima, y solo se me ocurre derivar, pero no le encuentro sentido

¿Voy bien encaminado así?