Es lo que te ha comentado Papp, pero voy a intentar ponerlo un poco más generalizado y con un ejemplo. Para el determinante de una matriz de dimensión mayor que 3 (aunque en realidad vale para cualquier dimensión), se escoge una fila o columna y se multiplica cada número de ella por el determinante de sus adjuntos. Si el número está en un sitio impar en la fila o columna, su término se suma, y si está en un sitio impar, se resta.
La matriz adjunta de una componente de la matriz es la que resulta al tachar la fila y la columna donde está ese término (siempre de una dimensión menor que la original).
Dimensión 2: Aquí escogeríamos la primera columna. Como
c está en un sitio par (segundo lugar), su término se resta. En este caso, la matriz adjunta de cada número es otro número.
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Se comprueba que es la misma fórmula de siempre, una diagonal menos la otra.
Ejemplo:
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Dimensión 3: Escogemos la primera columna.
d está en un sitio par y su término se resta, pero
a y
g están en sitios impares y sus términos se suman.
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Que se convierte en la fórmula de siempre, suma de diagonales en un sentido menos las diagonales en el otro.
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Ejemplo:
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Sí, el determinante de las teclas del móvil es 0.
A partir de aquí deja de funcionar la regla de las diagonales, así que no nos queda otra que seguir el método que he dicho y he estado aplicando en los casos anteriores.
Dimensión 4:
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(Nos podríamos quedar aquí, ya que el cálculo del determinante 3x3 ya es automático, pero se podría continuar).
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Ejemplo: Pongo la matriz que has puesto.
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De esta forma, para calcular el determinante de una matriz 4x4 hay que calcular 4 determinantes de 3x3. Si la matriz fuera de 5x5, habría que calcular 5 determinantes de 4x4, es decir, 20 determinantes de 3x3.