Sí, las definiciones de límite a veces son un poco complicadas de entender.
Tenemos una sucesión de términos
,
, ... Para todo número real
que elijamos y para que la sucesión sea convergente, todos los términos a partir de uno en concreto (
) tienen que cumplir
, que es lo mismo que
(quiere decir que la distancia de
al límite
es menor que
, luego
está en el entorno de
, de radio
).
Es decir, sea el épsilon que sea, al recorrer la sucesión y a partir de cierto término, todos los restantes tienen que quedar en un entorno del límite, de radio épsilon. Tiene que cumplirse para todo épsilon mayor que cero, así que no solo vale coger un épsilon grande (pues todas las sucesiones serían convergentes). Cuando épsilon es muy pequeño, casi cero, es probable que el valor de n para el cual la sucesión empieza a ser convergente sea muy alto (o no, eso depende de lo rápido que converja la sucesión).
Mira, en un dibujo:
[spoiler]
[/spoiler]
Para que
converja a
, esto debe cumplirse para cualquier anchura del intervalo (para cualquier
), aunque el
sea distinto para cada anchura. He puesto intencionadamente algunos valores a la izquierda o a la derecha porque no tiene por qué acercarse siempre por el mismo sitio (lo que importa es la distancia al límite, es decir, el valor absoluto).